… werden hier gesucht.
Jeder Mensch lernt anders und jeder Mensch hat ein individuelles Verständnis der Mathematik. Deshalb braucht auch jeder Mensch eine individuell angepasste Erklärung eines mathematischen Zusammenhangs. So gibt es also für jeden eine Erklärung, die von allen die beste ist – eben die beste Erklärung der Welt.
Auf dieser Seite werden einige Erklärungen vorgestellt – vor allem solche, die eher nicht in Schulbüchern stehen und viel mehr in die Tiefe gehen, als es bei YouTubern und TikTokern üblich ist. Diese Erklärungen erlauben eine durchaus kritische Auseinandersetzung mit dem jeweils aktuellen Lehrstoff. Das mag einigen Menschen ungewöhnlich vorkommen, gilt die Mathematik doch gemeinhin als starres Regelwerk. Das ist sie aber gar nicht. Genügend „Beweismaterial“ steht auf dieser Seite. Die intensive Beschäftigung mit Mathematik ist eine spannende Reise in die eigene, innere Welt der Strukturen, der Logik und der Abstraktion. Mögen die folgenden Anregungen den Weg dorthin weisen.
Jeder Mensch hat mehr oder weniger das Bedürfnis, einzigartig zu sein und dafür geschätzt zu werden. In der Mathematik beginnt die Einzigartigkeit schon damit, dass jeder Mensch ein eigenes Verständnis mathematischer Objekte entwickelt. Ein Beispiel: Brüche sind Teile eines konkreten Ganzen. Sie sind auch zweidimensionale Zahlen, Ergebnisse von Divisionen, Resultate von Verteilungen, mathematische Operatoren, Punkte auf der Zahlengeraden, Verhältnisangaben und Anteile. Brüche können mit Bruchstreifen, Tortendiagrammen oder auch Unterteilungen einer Zeitspanne repräsentiert werden. Man kann Brüche mit unterschiedliche schweren Objekten fühlen, man kann sie als unterschiedliche Hellikgeiten sehen und als unterschiedliche Lautstärken hören. Alle Tonhöhen kommen außerdem durch verschiedene Unterteilungen einer Zeitspanne zustande und ein Klang ist ein Ton mit unterschiedliche gewichteten Obertönen, die wiederum als Brüche dargestellt werden können. Jeder Schüler, der das Thema „Brüche“ behandelt, wird aus diesen Verständnismöglichkeiten sein individuelles Bild von Brüchen gestalten. Das geht gar nicht anders. Das Wissen um diese Einzigartigkeit kann eine starke Motivation sein, mehr über Mathematik erfahren zu wollen.
Wenn du eine Erklärung kennst, die du gut findest und die hier aber nicht vorkommt: Schicke sie mir und ich werde sie hier veröffentlichen (falls mathematische alles in Ordnung ist).
Wenn du eine Erklärung suchst, die hier nicht vorkommt, kannst du mir gerne schreiben (martinwabnik@gmail.com). Wir werden jemanden finden, der es erklären kann.
Rechnen
Warum ist Minus mal Minus Plus?
Terme und Gleichungen
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Empirisches Gesetz der großen Zahlen
Differential- und Integralrechnung
Differential- und Integralrechnung
Sonstiges
YouTube Kanal von Martin Wabnik
Dieser YouTube Kanal bietet über 400 hochwertige Mathematik-Videos zu verschiedenen Themen der Schulmatheamtik. Dabei geht es um ein tiefes Verständnis der Mathematik (deep learning) und nicht um die Bereitstellung sinnentleerter Lösungsrezepte. Hinter jedem Video steckt ein didaktisches Konzept, welches entschieden sprachlich und visuell umgesetzt wird. Jeder Mensch, der Mathematik wirklich verstehen möchte, wird hier das finden, wonach er lange gesucht hat.
Rechnen
Brüche teilen
Brüche teilen – Begründung der Kehrwertregel – Messen
Wir teilen durch einen Bruch, indem wir mit dem Kehrwert multiplizieren. Das besagt die Kehrwertregel.
Aber warum gilt die Kehrwertregel? Um das zu klären, fragen wir uns, was das Teilen von Zahlen eigentlich bedeutet. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten:
Oftmals wird das Teilen von Zahlen als „Messen“ verstanden. Wenn wir \(12\) durch \(3\) teilen, können wir uns fragen: Wie oft passt \(3\) auf \(12\)? Die Antwort ist \(4\), weil \(3\) viermal auf \(12\) passt. Wenn wir die Länge einer Strecke messen, gehen wir so ähnlich vor: Wir nehmen einen Maßstab, der z. B. \(1\) Meter lang ist, und fragen uns, wie oft dieser Maßstab auf eine bestimmte Strecke passt. Wenn der Maßstab genau viermal auf diese Strecke passt, ist die Strecke \(4\) Meter lang.
Wenn wir das Teilen von Brüchen als „Messen“ verstehen wollen, können wir uns die Brüche mit den Bruchstreifen vorstellen. Im PDF steht dazu eine kurze Erklärung der Kehrwertregel.
Kehrwertregel – anschauliche Erklärung – Messen
Die Kehrwertregel lautet: Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Eine solche Regel lässt man in der Mathematik nicht einfach so stehen, sondern sie wird begründet. Eine rein anschauliche Begründung wird in diesem Video vorgestellt.
Didaktische Anmerkung: Im PDF wird die anschauliche Begründung mit Bruchstreifen gezeigt, an der die Gültigkeit der Kehrwertregel direkt abgelesen werden kann. Zudem wird der „schwierigste“ Fall gezeigt: beide Brüche haben unterschiedliche Zähler und Nenner, die Nenner sind nicht gleich 1 und der zweite Bruch ist größer als der erste. Es gibt zwar ähnliche, anschauliche Begründungen (gerade die Amerikaner sind in diesem Bereich sehr aktiv), aber hier ist die einzige Erklärung zu sehen, die den kompliziertesten Fall behandeln kann und die ohne Analogieschlüsse auskommt. Eine Ausführliche darstellung des Teilens von Brüchen mit den Bruchstreifen mit einer ebenso ausführlichen Begründung der Kehrwertregel findet sich zum Thema „Teilen von Brüchen“ auf dieser Seite. Hier wird nur eine sehr kurze Begründung gezeigt.
Brüche teilen – Begründung der Kehrwertregel – Verteilen
Wir können das Teilen von Zahlen auch als „Verteilen“ verstehen. Wenn wir \(15\) Äpfel auf \(3\) Körbe verteilen, sind in jedem Korb \(5\) Äpfel. Deshalb ist \(15 : 3 = 5\).
Aber wie verteilt man z. B. \(\frac{4}{5}\) auf \( \frac{2}{3} \) ? Wie kann das überhaupt aussehen? Im PDF wird gezeigt, wie durch geschicktes Einteilen von Flächen die Begründung der Kehrwertregel direkt anschaulich abgelesen werden kann. In dieser kurzen Darstellung wird der „schwierigste“ Fall gezeigt: Weder Zähler noch Nenner passen zusammen, alle sind ungleich \(1\) und der Bruch, auf den verteilt wird, ist kleiner als \(1\).
Didaktische Anmerkung: Im PDF wird die einzige heute existierende anschauliche Begründung der Kehrwertregel gezeigt, die mit der Idee des Verteilens arbeitet. Auch bei dieser Begründung lässt sich die Gültigkeit der Kehrwertregel direkt ablesen. Es gibt zwar grundsätzliche Bebründungen wie z. B. das Verteilen einer Wassermenge auf Behälter mit unterschiedlich großen Grundflächen, wobei sich beim Umfüllen der Wasserstand entsprechend ändert, aber nur eine Begründung, an der man die Zahlen, mit denen multipliziert wird, direkt ablesen kann.
Warum ist Minus mal Minus gleich Plus?
Die Festlegung, dass Minus mal Minus gleich Plus ist, also dass z. B. \( -2 \cdot (-3) = + \; 6 \) ist, ist Ausgangspunkt vieler mehr oder weniger ernsthafter Diskussionen über die Richtigkeit der Mathematik. Das ist verständlich, widerspricht dieses „Minus mal Minus“ doch dem Verständnis der Multiplikation, wie wir sie seit der Grundschule kennen. Damals haben wir gelernt: Die Multiplikation ist eine Abkürzung der Addition. Z. B. ist \(3 \cdot 4\) entweder \(3 + 3 + 3 + 3\) oder \(4 + 4 + 4\). In diesem Zusammenhang ergibt ein Ausdruck wie \( (-3) \cdot (-4) \) einfach keinen Sinn.
Das Problem liegt in der Tat sehr tief: Wir können nämlich nicht beweisen, dass „Minus mal Minus“ an sich und überhaupt gleich „Plus“ sein muss. Wir können aber an bestimmten mathematischen Modellen zeigen, wie solche Rechnungen sinnvoll sind und auch zu richtigen Ergebnissen führen. Im folgenden PDF geht es zum einen um die Zahlengerade als Standardmodell der Mathematik für das Rechnen mit Zahlen und zum anderen um zwei Modelle, die mehr mit dem Alltag zu tun haben: Es geht um das Hin- und Herlaufen und um das Essen von Schokoladenkeksen. Ja, auch für Schokoladenkekse ist „Minus mal Minus“ gleich „Plus“!
In diesem Video wird eine andere Erklärung gezeigt: Es geht darum, dass jede Zahl eine Gegenzahl haben soll. Die Gegenzahl einer negativen Zhl muss dann eine positive Zahl sein.
Terme und Gleichungen
Termumformungen
An Termumformungen kann man sehr schön sehen, wie sich die Bedürfnisse Hochbegabter von denen anderer Schüler unterscheiden. Während die meisten Schüler so gut es geht das nachmachen, was an Termumformungen an der Tafel gestanden hat, stellen Hochbegabte Fragen, die für die meisten Mitschüler grotesk wirken. Manche dieser Fragen können mitunter sogar Mathelehrer nicht beantworten. Z. B.: Was ist ein Term? Was ist eine Termumformung? Wird bei einer Termumformung ein bestehender Term in einen anderen umgeformt oder wird zu einem bestehenden Term ein weiterer gefunden? Was ist eine richtige Termumformung und warum? Wie kann man den Grund für die Richtigkeit intuitiv verstehen? Wie kann man die Ergebnisgleichheit zwei Terme für alle Zahlen nachweisen, obwohl es unendlich viele Zahlen gibt? Warum macht man überhaupt Termumformungen?
Im nachfolgenden PDF werden zwar nicht alle Fragen vollständig beantwortet. Es werden aber ein paar Wege gezeigt, die man gehen könnte, um ein tiefes Verständnis von Termen zu erlangen.
Äquivalenzumformungen verstehen
Genauso wie Termumformungen kann man sich Äquivalenzumformungen an der Zahlengerade verständlich machen. Interessanterweise ist das viel komplizierter als Äquivalenzumformungen auszuführen. Dieses Phänomen können wir bei vielen mathematischen Zusammenhängen beobachten und es macht einen Teil der Stärke der Mathematik aus: Jeder Mensch kann Mathematik anwenden, indem er Zahlen in eine Formel einsetzt, ohne die Begründung der Formel verstehen zu müssen. Allerdings ist der Teil der Mathematik, in dem man sich um das Verständnis bemüht, der weitaus interessantere Teil.
pq-Formel für quadratische Gleichungen
Die pq-Formel ist eine wichtige Formel, mit der quadratische Gleichungen gelösten werden können. Im Video schauen wir uns die Formel an, aber nicht, wie sie hergeleitet werden. Es werden außerdem mehrere Beispiele durchgerechnet, in denen die pq-Formel angewendet wird. Wir stellen fest, dass manche quadratischen Gleichungen zwei Lösungen haben und dass es auch quadratische Gleichungen gibt, die nur eine Lösung oder auch gar keine Lösung haben. In diesem Video werden nicht nur die Rechnungen gezeigt, sondern es wird auch darauf eingegangen, wie man feststellen kann, ob auf eine gegebene Gleichung die pq-Formel überhaupt anwendbar ist. Es gilt: Die pq-Formel ist anwendbar, wenn durch die Ersetzung von p und q durch Zahlen in der Normalform einer quadratischen Gleichung die gegebene Gleichung ensteht. Da dieser Satz aber sehr umständlich klingt, wird im Video gar nicht weiter darauf eingegangen, sondern es wird einfach der Ersetzungsprozess anschaulich durchgeführt. So kann man auch sehen, welche Klammern für den Fall „mitgenommen“ werden müssen, wenn in der gegebenen Gleichung negative Zahlen vorkommen. Selbstverständlich ensprechen auch in diesem Video alle Formulierungen und Notationen dem in der Mathematik gängigen exakten Sprachgebrauch. Das können Menschen, die die bei YouTubern übliche Schludrigkeit gewohnt sind, als belastend empfinden. Alle, die wissen möchten, wie die Rechnungen „offiziell“ gesprochen und aufgeschrieben werden, werden hier fündig werden.
Exponentialfunktion mit Salzteig
Exponentialfunktionen kommen im Alltag immer wieder vor. Wir sind quasi von diesen Funktionen umgeben. Um diese Tatsache mal sehr plastisch zu zeigen, wird in diesem Video eine Exponentialfunktion mit Salzteig vorgeknetet. Auch so können wir uns Exponentialfunktionen vorstellen. Und am Ende kommt noch ein Brüller: Wir sehen nämlich fast ganz von selbst, warum irgendetwas hoch 0 immer gleich 1 ist.
Warum ist \(2^0=1\) ?
So, wie die Multiplikation als Abkürzung der Addition eingeführt wird – z. B. ist \(2+2+2=3 \cdot 2\) -, wird das Potenzieren zunächst als Abkürzung der Multiplikation erklärt, wobei z. B. \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\) ist. Und solange die Basen und Exponenten positive natürliche Zahlen sind, ist das auch kein Problem. Aber schon bei \(2^1\) kann man in Grübeln kommen. Man hat festgelegt, dass \(2^1=2\) ist. Das passt immerhin zur Definition der Multiplikation, weil \(2=1 \cdot 2\) ist. Setzt man hingegen als Exponent \(0\) ein, muss man sich fragen, was \(2^0\) bedeuten soll. Nun, es ist \(2^0=1\), genauso, wie \(22^0=1\) und \( \left( \frac{1}{222} \right)^0 =1\) ist. Das kommt vielen Menschen sehr merkwürdig vor. Im folgenden PDF wird erklärt, warum das so festgelegt wurde und warum diese Festlegung sogar Sinn ergibt.
Differential- und Integralrechnung
Ableitung ohne Grenzwert
Der Differentialquotient ist der zentrale Begriff der Differentialrechnung. In diesem Video sehen wir uns an, wie wir anschaulich verstehen können, was der Differentialquotient bedeutet. Geometrisch gesehen geht es darum, die Steigung einer Tangente zu bestimmen, die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt. Das Problem dabei ist, dass wir für die Steigungsbestimmung von Geraden – und eine Tangente ist ja eine Gerade – zwei Punkte brauchen, wobei die Tangente aber nur einen einzigen Punkt mit dem Funktionsgraphen gemeinsam hat. Normalerweise wird dieses Problem dadurch gelöst, dass die Tangentsteigung als Grenzwert der Sekantensteigungen definiert wird. In diesem Video gehen wir aber einen ganz anderen Weg: Wir sehen uns an, welche Steigungen die Sekanten haben, die sich in der Umgebung des Berührpunktes befinden. Wir stellen dann fest, dass es nur eine einzige Steigung gibt, die keine Sekantensteigung ist: Es ist die Tangentensteigung. Wir bestimmen also die Tangentensteigung, indem wir alle anderen Steigungen ausschließen. Dabei kommen wir sogar ohne den Grenzwertbegriff aus.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Wenn man so will, behauptet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, dass (unter bestimmten Umständen) die Ableitung einer Flächeninhaltsfunktion exakt gleich den Funktionswerten der Funktion ist, deren Fläche zwischen Graph und x-Achse sie misst. Noch einfacher gesagt: Die Flächenbestimmung ist das Gegenteil der Steigungsbestimmung und umgekehrt. Das darf man ruhig verwunderlich finden! Der formale Beweis des Hauptsatzes ist zwar kurz, er gibt aber nichts intuitiv Verstehbares zu diesem Zusammenhang preis. Deshalb steht im PDF eine anschauliche Begründung für die Tatsache, dass (unter bestimmten Umständen) das Integrieren das Gegenteil des Ableitens ist.
Unter bestimmten Umständen kann man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (etwas verkürzt) so verstehen: Man kann mit einer Stammfunktion eine Fläche berechnen.* Nun hat aber eine Stammfunktion quasi als Gegenteil einer Ableitung erstmal nichts mit einer Fläche zu tun. Trotzdem funktioniert es. Wie diesen diesen Zusammenahng anschaulich verstehen kannst, siehst du im Video.
*(Genauer gesagt: Man kann die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion f und der x-Achse auf dem Intervall [a; b] durch die Differenz der Funktionswerte F(b) und F(a) einer Stammfunktion F bestimmen.)
Uneigentliche Integrale
Mit den uneigentlichen Integralen bringt man das Kunststück fertig, eine unendlich breite Fläche vor sich zu haben, die aber nur einen endlichen Flächeninhalt hat. Das rebelliert normalerweise unser gesunder Menschenverstand. Umso überraschender ist, dass es eine extrem einfache Erklärung gibt, mit der wir dieses scheinbar widersprüchliche Phänomen verstehen können.
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Was ist Wahrscheinlichkeit?
In der Schule werden vor allem zwei unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsbegriffe gelehrt: Der Laplacesche Wahrscheinlichkeitsbegriff und der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff. Mit beiden gibt es erhebliche Verständnisprobleme – mal abgesehen davon, dass sie laut Zeitschrift „mathematik lehren“ auch zirkulär sind. Es gibt aber einen sehr einfachen Wahrscheinlichkeitsbegriff, der entsteht, wenn man die axiomatische Wahrscheinlichkeit auf Schulniveau herunterbricht: Wahrscheinlichkeiten sind Anteile. Zudem kann man sich die Diskussion, ob dies die „richtige“ Wahrscheinlichkeit sei oder nicht, sparen: Wir rechnen ohnehin mit Anteilen, egal, ob wir die Wahrscheinlichkeit beim Lose-Ziehen ausrechnen oder sie über die Integration einer Dichtefunktion bestimmen.
Empirisches Gesetz der großen Zahlen
Angenommen, wir haben eine Box mit einer blauen und einer roten Kugel. Wir ziehen zufällig eine Kugel, notieren uns die Farbe und legen die Kugel wieder zurück. Dann ziehen wir wieder eine Kugel usw. Wenn wir diesen Vorgang \( 100\)-mal durchführen, kann es gut sein, dass wir ca. \(50 \) blaue und ca. \( 50 \) rote Kugeln ziehen. Diese „Tatsache“ ist die Kernaussage des empirischen Gesetzes der großen Zahlen. Aber warum ist das so? Natürlich nicht deshalb, weil es die „Gesetze des Zufalls“ so wollen – wie manchmal etwas hochtrabend behauptet wird. (Und selbst wenn das so wäre, wäre damit die Frage nach dem „Warum?“ immer noch nicht beantwortet.) Die kürzest mögliche Antwort ist: Weil es viel mehr Möglichkeiten mit ca. \( 50 \) blauen Kugeln gibt als es andere Möglichkeiten gibt.
Im folgenden PDF ist die Lage ausführlich dargestellt. Es wird genau erklärt, was „viel mehr Möglichkeiten“ bedeutet und auch gezeigt, wie man dieses empirische Gesetz der großen Zahlen mit dem Galton-Brett verstehen kann. Außerdem wird gezeigt, wie man auch ohne das Wissen der Kombinatorik die Anzahlen der Möglichkeiten mit Hilfe (erweiterter) Pascalscher Dreiecke für die ersten Versuchsanzahlen ausrechnen kann.
Die im PDF gezeigte einzigartige Methode der Erklärung des empirischen Gesetzes der großen Zahlen hat den enormen Vorteil, dass die Gesetzmäßigkeiten direkt nach den ersten wenigen Versuchsdurchführungen intuitiv erkannt werden können. Hier kann also auf den sonst üblichen (verwirrenden) Hinweis, das empirische Gesetz der großen Zahlen gelte nur für ganz ganz viele Versuchsdurchführungen, verzichtet werden.
Die relative Häufigkeit und ein folgenreicher Irrtum
Ein weitverbreiteter Irrtum ist, die relative Häufigkeit eines Ereignisses nähere sich mit zunehmender Versuchsanzahl der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses an. Zwar kann es gut sein, nach 100-maligem Münzwurf ungefähr 50-mal „Kopf“ zu erhalten (d.h. die relative Häufigkeit von „Kopf“ ist dann in der Nähe der Wahrscheinlichkeit von „Kopf“), es MUSS aber nicht so sein.
In diesem Video wird gezeigt, wie sehr das Verständnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung unter diesem Irrtum leidet, wie das vermieden werden kann und wie es wirklich ist. Und es wird gezeigt, wie einfach die dahinterliegende Mathematik tatsächlich ist.
Dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses annähern muss, wenn der Zufallsversuch „oft“ wiederholt wird, wird häufig (fälschlicherweise) als zentrale Aussage des empirischen Gesetzes der großen Zahlen angeführt. Dazu gibt es in viele Formulierungen, wobei manche falscher als andere sind. Völlig falsch ist die folgende Formulierung, die man auf den Seiten des Vereins MUED e. V. finden kann (wenn man Mitglied ist):
„Dieses berühmte Gesetz der Großen Zahl besagt, dass bei vielen unabhängigen Wiederholungen eines Zufallsexperiments, sei es Münzwurf, Würfeln, Lotto, Kartenspielen oder was auch immer, die relative Häufigkeit und die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses immer näher zusammenrücken müssen: Je häufiger wir eine faire Münze werfen, desto näher kommt der Anteil von ‚Kopf‘ seiner Wahrscheinlichkeit ein halb, je häufiger wir würfeln, desto näher kommt der Anteil der Sechsen der Wahrscheinlichkeit für Sechs, und je häufiger wir Lotto spielen, desto näher kommt die relative Häufigkeit der 13 der Wahrscheinlichkeit der 13. An diesem Gesetz gibt es nichts herumzudeuteln, dieses Gesetz ist in gewisser Weise die Krönung der gesamten Wahrscheinlichkeitstheorie.“
Es wird behauptet, Jakob Bernoulli (1654 – 1705) habe das empirische Gesetz der großen Zahlen als erster formuliert. Das ist aber nicht richtig – zumindest dann, wenn man die gängigen Formulierungen berücksichtigt. Bernoulli schrieb z. B. nicht, die relativen Häufigkeiten eines Ereignisses A pendelten sich bei hinreichend großer Anzahl n der Versuchswiederholungen bei der Wahrscheinlichkeit von A ein. Ebensowenig schrieb er, die relativen Häufigkeiten eines Ereignisses A stabilisierten sich mit zunehmender Anzahl der Versuchsdurchführungen bei der Wahrscheinlichkeit von A und er schrieb auch nicht, die relativen Häufigkeiten von A müssten sich mit zunehmender Anzahl der Versuchsdurchführungen der Wahrscheinlichkeit von A annähern.
Und hier ist – in der deutschen Übersetzung – das, was Bernoulli tatsächlich schrieb:
„Satz: Es möge sich die Zahl der günstigen Fälle zu der Zahl der ungünstigen Fälle genau oder näherungsweise wie , also zu der Zahl aller Fälle wie \( \frac{r}{r+s}=\frac{r}{t} \) – wenn \( r+s=t \) gesetzt wird – verhalten, welches letztere Verhältniss zwischen den Grenzen \( \frac{r+l}{t} \) und \( \frac{r-l}{t} \) enthalten ist. Nun können, wie zu beweisen ist, soviele Beobachtungen gemacht werden, dass es beliebig oft (z. B. c-mal) wahrscheinlicher wird, dass das Verhältniss der günstigen zu allen angestellten Beobachtungen innerhalb dieser Grenzen liegt als ausserhalb derselben, also weder grösser als \( \frac{r+l}{t} \) , noch kleiner als \( \frac{r-l}{t} \) ist.“ (Bernoulli 1713, S. 104), in der Ausgabe: Wahrscheinlichkeitsrechnung (Ars conjectandi), Dritter und vierter Theil, übersetzt von R. Haussner, Leipzig, Verlag von Wilhom Engelmann, 1899)
Das, was Bernoulli schrieb, ist übrigens richtig und kommt dem schwachen Gesetz der großen Zahlen sehr nahe.
Es sind beliebig viele Situationen denkbar, in denen die relative Häufigkeit eines Ereignisses sich nicht der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses nähert, sondern sich von diesem entfernt.
Ein Beispiel: Angenommen, wir werfen zufällig eine Münze, sodass wir die Ergebnisse Z (Zahl) und K (Kopf) erhalten können. Dabei sollen beide Ergebnisse jeweils die Wahrscheinlichkeit 0,5 haben. Nehmen wir weiter an, wir hätten die Münze 100-mal geworfen und 50-mal Z sowie 50-mal K erhalten. Dann ist die relative Häufigkeit von Z gleich 0,5. Wenn wir nun die Münze nochmals werfen, erhalten wir entweder Z – dann ist die relative Häufigkeit von Z gleich \(0,\overline{5049}\) – oder wir erhalten K – dann ist die relative Häufigkeit von Z gleich \(0,\overline{4851}\). In beiden Fällen entfernt sich die relative Häufigkeit Z wieder von der Wahrscheinlichkeit von Z. Wir können, nachdem wir beim Versuch Nummer 101 das Ergebnis Z erhalten haben, bei nachfolgenden Versuchsdurchführungen immer wieder Z erhalten. Die relativen Häufigkeiten für Z sind dann:
\(\approx 0,5098\), \(\approx 0,5146\), \(\approx 0,5192\), \(\approx 0,5283\), usw.
Damit rückt also die relative Häufigkeit von Z immer weiter von der Wahrscheinlichkeit von Z ab, was dem angeblichen Gesetz der großen Zahlen widerspricht.
Das empirische Gesetz der großen Zahlen wird oft damit begründet, dass zwar auch ungewöhnliche Ergebnisse vorkommen können, die seien aber so unwahrscheinlich, dass sie praktisch nie vorkommen. Z. B. sei beim 30-fachen Münzwurf das Ergebnis KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK sehr ungewöhnlich und auch unwahrscheinlich, während das Ergebnis KZZKZKKKZKZZKZZZKKKZKZKKKZZZZK viel normaler und deshalb wahrscheinlicher sei.
Das ist nicht nur deshalb falsch, weil beide Ergebnisse genau die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, sondern auch deshalb, weil wir Menschen das, was an bestimmten Ergebnissen ungewöhnlich sein soll, in die Ergebnisse hineinfantasieren. Anders gesagt: Die Münze „weiß“ nichts von ungewöhnlichen Ergebnissen. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:
Angenommen, wir haben 10 Kugeln mit den Ziffern von 0 bis 9. Die Kugel mit der 0 ist grün, alle anderen sind gelb. Wir ziehen zufällig zehnmal mit Zurücklegen und mit Reihenfolge.
Achteten wir nur auf die Farben, empfänden wir das Ergebnis
vermutlich nicht als ungewöhnlichn. Käme dann aber bei der Betrach-tung der Zahlen das hier zum Vorschein
gälte die Stichprobe aber wohl doch als ungewöhnlich.
Wenn wir wollen, können wir aber noch ganz andere Maßstäbe ansetzen: Eine Stichprobe soll als ungewöhnlich gelten, wenn die Ziffernfolge in den ersten Nachkommastellen von π vorkommt. Die Stichprobe
ist gewöhnlich, weil sie nicht einmal unter den ersten 200 Millionen Nachkommastellen von π vorkommt. Die Stichprobe
ist ungewöhnlich, weil sie an Position 3 794 572 vorkommt. Die Stichprobe
kommt sogar an Position 851 vor und ist damit quasi extrem ungewöhnlich.
Egal ob ungewöhnlich oder nicht: Die Wahrscheinlichkeit jeder Stichprobe ist exakt die gleiche, nämlich: \[\frac{1}{10\,000\,000\,000}\]
Schauen wir uns ein Beispiel dazu an: Wir ziehen zufällig eine Kugel aus einem Behälter, in dem sich zwei Kugeln befinden. Eine Kugel ist blau, die andere ist rot. Wir ziehen mehrmals mit Zurücklegen und mit Reihenfolge.
Wir wollen uns im Weiteren für die Anzahlen der roten Kugeln interessieren. In den folgenden Tabellen sind diese Anzahlen in Abhängigkeit von den Versuchsdurchführungen aufgelistet. Beim 8-maligen Ziehen gibt es z. B. 56 Ergebnisse mit 3 roten Kugeln.
Diese Anzahlen werden von den Säulendiagrammen links maßstabsgetreu dargestellt. Wie wir sehen, wachsen mit zunehmender Anzahl der Versuchsdurchführungen die Anzahlen der Ergebnisse in der Mitte viel schneller als am Rand. Je öfter wir den Versuch durchführen, desto größer werden die Unterschiede zwischen der Mitte und dem Rand.
Das heißt: Es gibt einfach viel mehr Ergebnisse mit ungefähr 50 % roten Kugeln als es Ergebnisse mit viel weniger oder viel mehr roten Kugeln gibt. Und der Anteil der Ergebnisse in der Nähe der Mitte wird immer größer, je größer die Anzahl der Versuchsdurchführungen ist.
Dieses Phänomen können wir auch mit anderen Anteilen roter Kugeln in der Grundgesamtheit beobachten: Sind in der Grundgesamtheit zwei Drittel der Kugeln rot, sehen wir eine Häufung der Ergebnisse mit zwei Dritteln roter Kugeln.
Was wir hier sehen, können wir zwar etwas vereinfachend – aber nicht falsch – mit folgendem Satz zusammenfassen: Die relativen Häufigkeiten roter Kugeln sind in den meisten Ergebnissen so ähnlich wie die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen.
Mit den Begriffen der Statistik hört sich das so an: Die meisten Stichproben sind so ähnlich wie die Grundgesamtheit.
Wenn wir also eine Münze 100-mal werfen und wir ca. 50-mal K erhalten, liegt das nicht daran, dass sich die relative Häufigkeit stabilisiert oder die Münze auf einen Ausgleich zwischen K und Z bedacht ist oder daran, dass eine dunkle Macht den Fall der Münze beeinflusst, sondern schlicht und ergreifen daran, dass es viel, viel mehr Ergebnisse gibt, die ca. 50-mal K enthalten als es Ergebnisse gibt, die viel weniger oder viel mehr K enthalten.
Schwaches Gesetz der großen Zahlen
Das empirische Gesetz der großen Zahlen gibt es in der richtigen Mathematik nicht, weil dieses Gesetz vielleicht einer gewissen Erfahrung Audruck verleiht, aber keine beweisbare Aussage enthält . Das Gesetz aus der richtigen Mathematik, welches dem empirischen Gesetz der großen Zahlen vielleicht am nächsten kommt, ist das schwache Gesetz der großen Zahlen. Es hat inhaltlich mit dem Verhältnis von relativer Häufigkeit eines Ereignisses und der Wahrscheinlichkeit dieses Eriegnisses bei vielen Versuchsdurchführungen zu tun. Fälschlicherweise wird dieser Zusammenhang oft so beschrieben: Die relative Häufigkeit eines Ereignisses kommt der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses immer näher, je häufiger der Zufallsversuch durchgeführt wird. Aber das stimmt nicht, denn das würde z. B. für den mehrfachen Münzwurf bedeutet: Wenn wir nach \(50\) Münzwürfen genau \(25\)-mal Kopf und genau \(25\)-mal Zahl geworfen haben, könnten wir danach nicht \(5\)-mal hintereinander Kopf werfen, weil sich dadurch die relative Häufigkeit des Ereignisses Kopf von dem Wert \(50\) % entfernen würde. So müsste also eine dunkle Macht unsere Hand führen um zu viele Kopf-Würfe zu vermeiden.
Umgangssprachlich (und richtig) formuliert besagt das schwache Gesetz der großen Zahlen: Die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit eines Ereignisses in der Nähe der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses liegt, wird immer größer, je häufiger der Zufallsversuch durchgeführt wird (und sie konvergiert sogar gegen \(1\), falls der Zufallsversuch unbegrenzt oft durchgeführt wird). In der Fachsprache nennt sich dieses Phänomen kurz „Konvergenz in Wahrscheinlichkeit“. Auf den Münzwurf übertragen bedeutet das: Je häufiger wir die Münze werfen, desto größer wird die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit von Kopf in der Nähe der Wahrscheinlichkeit von Kopf – also in der Nähe von \(50\) % – liegt (und sie konvergiert sogar gegen \(1\), wenn der Münzwurf unbegrenzt oft durchgeführt wird).
Im folgenden PDF wird das schwache Gesetz der großen Zahlen möglichst einfach erklärt. Aber nicht einfacher! Es wird also mathematisch korrekt dargestellt, aber nur auf den möglichst einfachen Fall des Münzwurfs angewendet. Außerdem wird gezeigt, wie man sich dieses Gesetz anschaulich vorstellen kann und welche Fehlinterpretationen es gibt.
Starkes Gesetz der großen Zahlen
Wenn wir eine Münze immer wieder werfen und die Ergebnisse notieren, entsteht eine Ergebnisfolge wie z. B.
(Kopf, Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, Zahl, Zahl, Kopf, … )
Das schwache Gesetz der großen Zahlen sagt etwas über eine solche Folge aus, nämlich wie sich die Wahrscheinlichkeit, dass sich die relative Häufigkeit von z. B. Kopf in der Nähe von \(0,5\) befindet, entwickelt, wenn der Münzwurf unbegrenzt oft durchgeführt wird. Das starke Gesetz der großen Zahlen hingegen sagt etwas über alle möglichen (unendlichen) Ergebnisfolgen, nämlich dass für (in einem bestimmten mathematischen Sinn) fast alle dieser Folgen gilt: Die relative Häufigkeit für z. B. Kopf konvergiert tatsächlich gegen \(0,5\), wenn der Münzwurf unbegrenzt oft durchgeführt wird. Der Begriff „fast“ ist in diesem Fall ein Fachbegriff. Er wird maßtheoretisch definiert.
Im folgenden PDF wird das starke Gesetz der großen Zahlen erklärt. Es geht dabei nicht um irgendeine weichgespülte umgangssprachliche Version dieses Gesetzes, sondern um das richtige Gesetz – allerdings wird es nur für den einfachst möglichen Fall – den Münzwurf – erklärt. Alle formalen Notwendigkeiten wie z. B. die Mittelwerte zentrierter Zufallsvariablen, werden im Text erklärt. Alles, was nicht absolut unverzichtbar ist, wird weggelasen. Außerdem wird noch auf die üblichen Fehlinterpretationen eingegangen und diese richtiggestellt.
Sonstiges
Ortsvektor – Definition
Ein Ortsvektor ist nicht etwa ein Vektor, der sich an einem bestimmten Ort befindet, sondern ein Ortsvektor ist ein Vektor, der durch einen Ort definiert wird. Orte sind Punkte im Koordinatensystem. Legt man einen Ort fest, so gibt es nur einen einzigen Pfeil, der vom Koordinatenursprung zu diesem Ort führt. Dieser Pfeil repräsentiert genau einen Vektor, nämlich den Ortsvektor, der durch diesen Ort definiert wird. Im Video schauen wir uns die ganze Sache noch graphisch-optisch an.
Dieses Video eigent sich besonder für Menschen, die Wert auf eine mathematisch exakte, gleichermaßen aber auch anschauliche Definition des Ortsvektors legen. Deshalb wird genau darauf eingegangen, wie man verstehen kann, dass obwohl der Ortsvektor durch einen Ort definiert wird und es nur einen einzigen Pfeil gibt, der vom Koordinatenursprung zu diesem Ort führt, dieser Vektor eben doch nicht ortsgebunden ist.
Wer den Marathon der Suche im Netz nach einer exakten und widerspruchsfreien Definition des Ortsvektors hinter sich, wird am Ende des Videos sehr erleichtert sein.
Kugeloberfläche – Kosmetik und Nanopartikel
Gegeben sei eine Kugel. Teilen wir das Volumen dieser Kugel auf mehrere kleinere Kugeln auf, stellen wir fest, dass die Summe der Oberflächen der kleineren Kugeln größer ist als die Oberfläche der großen Kugel. Je kleiner die Kugeln sind, desto größer ist die Summe der Oberflächen. Im Alltag kommen mitunter sehr kleine “Kugeln” vor. Z.B. werden C60-Fullerene in manche Kosmetika eingearbeitet. C60-Fullerene sind Moleküle, die so ähnlich aussehen wie kleine Fußbälle. Unter anderem weil diese Moleküle pro Volumeneinheit eine “sehr große” Oberfläche haben, sind sie chemisch sehr reaktionsfreudig. Das bedeutet auch, dass – falls sie unerwünschte Nebenwirkungen wie z.B. Toxizität haben – diese Nebenwirkungen sehr groß sein können. In diesem Video wollen wir der Oberflächenvergrößerung bei Kugelverkleinerung mal mathematisch nachgehen. Übrigens finden wir die angesprochene Problematik in viele Bereichen des Alltags wieder, z.B. bei Feinstaub, den wir einatmen.
Vollständige Induktion
Die vollständige Induktion ist eine Beweismethode, mit der man (meistens) zeigt, dass eine Behauptung für jede natürliche Zahle gilt. Sie besteht aus zwei Schritten: 1) Man zeigt, das eine Behauptung für eine erste Zahl gilt – meistens die 1. 2) Man zeigt, dass wenn die Behauptung für eine bestimmte Zahl gilt, sie dann auch für die nachfolgende Zahl gilt. Daraus schließt man dann, dass die Behauptung für jede natürliche Zahle gilt. Im Video siehst du, wie du diese Methode anschaulich verstehen kannst, denn – wenn man so will – wenden wir diese Methode z.B. immer dann an, wenn wir irgendwo hinlaufen. Danach kannst du dann noch ein paar Beispiele sehen. Dabei werden Behauptungen mit der Methode der vollständigen Induktion bewiesen.
Hilfe! Mein Kind kann kein Mathe!
Auch wenn man den Eindruck hat, es ginge gar nichts mehr, gibt es die Möglichkeiten, mit der Situation gut oder schlecht umzugehen.
Leider sehe ich immer wieder, dass aus z.B. einer 5 in Mathe in viel größeres Problem gemacht wird, indem das Kind im Extremfall sogar für krank erklärt wird und anschließend von einer Dyskalkulietherapeutin behandelt werden muss.
Wertschätzender Umgang und eine optimistische Einstellung können die Sache aber auch das sein lassen, was sie ist: Eine Zahl unter einer Klassenarbeit.