Diese Seite befindet sich im Aufbau. Mathematische Erklärungen zu weiteren Fragestellungen folgen in Kürze!

Anschauliche Erklärung der Kehrwertregel

Die Kehrwertregel – also man teilt durch einen Bruch indem man mit dem Kehrwert multipliziert – wird normalerweise im Zuge der Bruchrechnung in der Schule behandelt.
Meistens wird aber nur gezeigt, wie sie anzuwenden ist, aber nicht, warum sie richtig ist.
Doch es gibt eine sehr einfache, anschauliche Begründung der Kehrwertregel.

Statistik

Warum wissen wir etwas über eine Grundgesamtheit, wenn wir nur eine Stichprobe kennen – oder: Was wissen wir über die Menschen, die wir nicht gefragt haben?

Wie können wir etwas über (z.B.) alle Menschen wissen, wenn wir in einer Umfrage nur einen kleinen Teil von ihnen befragen? Will man Statistik verstehen oder anwenden, kommt man an dieser Grundfrage nicht vorbei. Anders formuliert: Was wissen wir über die Grundgesamtheit, wenn wir nur eine Stichprobe gezogen haben? Die Lösung: Wir hoffen beim Ziehen einer Stichprobe immer darauf, eine Stichprobe zu erwischen, die der Grundgesamtheit ähnlich ist. Zum “Glück” ist das auch – je nach Stichprobenumfang – mitunter sehr wahrscheinlich. Denn nach einem fundamentalen Resultat der Kombinatorik gibt es zu jeder Grundgesamtheit viel mehr Stichproben, die dieser Grundgesamtheit “ähnlich” sind als andere Stichproben.

Was ist Wahrscheinlichkeit?

In der Schule werden vor allem zwei unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsbegriffe gelehrt: Der Laplacesche Wahrscheinlichkeitsbegriff und der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff. Mit beiden gibt es erhebliche Verständnisprobleme – mal abgesehen davon, dass sie laut Zeitschrift “mathematik lehren” auch zirkulär sind. Es gibt aber einen sehr einfachen Wahrscheinlichkeitsbegriff, der entsteht, wenn man die axiomatische Wahrscheinlichkeit auf Schulniveau herunterbricht: Wahrscheinlichkeiten sind Anteile. Zudem kann man sich die Diskussion, ob dies die “richtige” Wahrscheinlichkeit sei oder nicht, sparen: Wir rechnen ohnehin mit Anteilen, egal, ob wir die Wahrscheinlichkeit beim Lose-Ziehen ausrechnen oder sie über die Integration einer Dichtefunktion bestimmen.

Wenn wir einen Hypothesentest durchführen, haben wir eine Hypothese und eine Stichprobe. Sind Hypothese und Stichprobe weit “auseinander”, verwerfen wir die Hypothese. Sind sie “nahe beieinander”, verwerfen wir die Hypothese nicht. Aber da wir erstens nicht wissen, ob die Hypothese richtig ist (wir aber von deren Gültigkeit ausgehen, um die “Nähe” zu bestimmen) und wir zweitens nicht wissen, ob die Stichprobe auch nur irgendeine Ähnlichkeit mit der Grundgesamtheit hat, ergibt sich die Frage: Warum funktioniert ein Hypothesentest (meistens) trotzdem? Die Lösung: Nach einem fundamentalen Resultat der Kombinatorik gibt es zu jeder Grundgesamtheit viel mehr Stichproben, die dieser Grundgesamtheit ähnlich sind als andere Stichproben. Demnach ist es viel wahrscheinlicher, eine der Grundgesamtheit ähnliche Stichprobe zu ziehen als eine andere Stichprobe. Führen wir einen Hypothesentest durch, spekulieren wir immer auf diesen Fall. Alle Schlüsse, die aus dem Hypothesentest gezogen werden, sind dann richtig. Andernfalls sind sie falsch. Aber das ist ja glückliherweise unwahrscheinlich.

Wahrscheinlichkeit, mit der eine Stichprobe aus einer bestimmten Grundgesamtheit gezogen wurde

Ist eine Stichprobe gezogen worden, möchte man gefühlsmäßig meistens wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass diese Stichprobe aus einer bestimmten Grundgesamtheit gezogen wurde.
In der Schule wird aber gelehrt, dass eine solche Wahrscheinlichkeit nicht bestimmt werden kann.
Jedoch gibt es eine einfache Methode, auf die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Grundgesamtheiten zu schließen.
Damit bekommt der “Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit” einen recht sympathischen Impuls.

Mathe einfach unterrichten – die relative Häufigkeit und ein folgenreicher Irrtum

Ein weitverbreiteter Irrtum ist, die relative Häufigkeit eines Ereignisses nähere sich mit zunehmender Versuchsanzahl der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses an.
Zwar kann es gut sein, nach 100-maligem Münzwurf ungefähr 50-mal “Kopf” zu erhalten (d.h. die relative Häufigkeit von “Kopf” ist dann in der Nähe der Wahrscheinlichkeit von “Kopf”), es MUSS aber nicht so sein.
In diesem Video wird gezeigt, wie sehr das Verständnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung unter diesem Irrtum leidet, wie das vermieden werden kann und wie es wirklich ist.
Und es wird gezeigt, wie einfach die dahinterliegende Mathematik tatsächlich ist.

Mathe einfach unterrichten – Was ist Zufall?

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wird von Schülern oft als ungenau und wenig greifbar empfunden, woraus sich viele Schwierigkeiten im Unterrichtsalltag ergeben. Diese Schwierigkeiten lassen sich vermeiden, indem Begriffe korrekt, genau und greifbar definiert werden. Der erste Begriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist der “Zufall”. Es gibt eine Möglichkeit, diesen Begriff nicht nur blitzsauber, sondern auch so zu definieren, dass er für Schüler konkret erfahrbar wird. Damit vermeidet man die sonst üblichen Diskussionen (“Gibt es Zufall überhaupt?”) und bietet Schülern einen Begriff in der für den exakten Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung gebotenen Klarheit.

Hilfe! mein Kind kann kein Mathe!

Auch wenn man den Eindruck hat, es ginge gar nichts mehr, gibt es die Möglichkeiten, mit der Situation gut oder schlecht umzugehen.
Leider sehe ich immer wieder, dass aus z.B. einer 5 in Mathe in viel größeres Problem gemacht wird, indem das Kind im Extremfall sogar für krank erklärt wird und anschließend von einer Dyskalkulietherapeutin behandelt werden muss.
Wertschätzender Umgang und eine optimistische Einstellung können die Sache aber auch das sein lassen, was sie ist: Eine Zahl unter einer Klassenarbeit.

Links zu Erklärungen bei sofatutor.com

Hauptsatz der Differential – und Integralrechnung – Erklärung anschaulich

Unter bestimmten Umständen kann man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (etwas verkürzt) so verstehen: Man kann mit einer Stammfunktion eine Fläche berechnen.* Nun hat aber eine Stammfunktion quasi als Gegenteil einer Ableitung erstmal nichts mit einer Fläche zu tun. Trotzdem funktioniert es. Wie diesen diesen Zusammenahng anschaulich verstehen kannst, siehst du im Video.
*(Genauer gesagt: Man kann die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion f und der x-Achse auf dem Intervall [a; b] durch die Differenz der Funktionswerte F(b) und F(a) einer Stammfunktion F bestimmen.)

Zum Video bei sofatutor.com:
https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/hauptsatz-der-differential-und-integralrechnung-anschaulich-erklaert?launchpad=video

Exponentialfunktion mit Salzteig

Exponentialfunktionen kommen im Alltag immer wieder vor. Wir sind quasi von diesen Funktionen umgeben. Um diese Tatsache mal sehr plastisch zu zeigen, wird in diesem Video eine Exponentialfunktion mit Salzteig vorgeknetet. Auch so können wir uns Exponentialfunktionen vorstellen. Und am Ende kommt noch ein Brüller: Wir sehen nämlich fast ganz von selbst, warum irgendetwas hoch 0 immer gleich 1 ist.

Zum Video bei sofatutor.com: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/exponentialfunktion-definition-und-erklaerung-mit-salzteig?launchpad=video

Vektoren – anschauliche Erklärung

Ein Vektor ist eine Einheit aus Länge und Richtung. Verschieben wir z.B. ein Papierdreieck auf einem Tisch von einem Ort zu einem anderen, wird jeder Punkt des Dreiecks – z.B. jede Ecke – um eine bestimmte Länge in eine bestimmte Richtung verschoben. Somit wurde das Dreieck um einen Vektor verschoben. Wir können uns Vektoren wie Pfeile vorstellen. Pfeile haben auch eine bestimmte Länge und eine bestimmte Richtung. Ein Vektor ist aber kein Pfeil, sondern wird nur durch einen solchen dargestellt. Auch hat ein Vektor keinen Ort, an dem er sich befindet; ein Pfeil hingegen befindet sich aber immer an einem bestimmten Ort. Im Video werden diese Unterschiede anschaulich herausgearbeitet. Außerdem sehen wir noch eine Möglichkeit, einen Vektor ohne die Verwendung von Pfeilen anzugeben.

Zum Video bei sofatutor.com: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/vektoren-anschauliche-erklaerung?launchpad=video

Ortsvektor – Definition

Ein Ortsvektor ist nicht etwas ein Vektor, der sich an einem bestimmten Ort befindet, sondern ein Ortsvektor ist ein Vektor, der durch einen Ort definiert wird. Orte sind Punkte im Koordinatensystem. Legt man einen Ort fest, so gibt es nur einen einzigen Pfeil, der vom Koordinatenursprung zu diesem Ort führt. Dieser Pfeil repräsentiert genau einen Vektor, nämlich den Ortsvektor, der durch diesen Ort definiert wird. Im Video schauen wir uns die ganze Sache noch graphisch-optisch an.

Zum Video bei sofatutor.com: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/ortsvektor-definition-2?launchpad=video

Sinussatz – Herleitung und Erklärung

In diesem Video schauen wir uns den Sinussatz an und was dieser bedeutet. Die Herleitung geht ohne größeren Aufwand und eine Beispielaufgabe können wir auch noch rechnen. Der Sinussatz gilt in beliebigen Dreiecken. Kennen wir z.B. eine Seite und zwei Winkel eines Dreiecks, so kennen wir bereits alle anderen Maße des Dreiecks. Diese Tatsache ist vorteilhaft, um Entfernungen zu bestimmen, die nur mit sehr großem Aufwand nachgemessen werden könnten. Mit dem Sinussatz kann z.B. die Entfernung der Spitze des Eiffelturms zur Sprecherin bestimmen werden, indem am Boden eine Strecke und zwei Winkel gemessen werden.

Zum Video bei sofatutor.com: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/sinussatz-erklaerung-und-herleitung-2?launchpad=video

Titel: pq-Formel für quadratische Gleichungen

Die pq-Formel ist eine wichtige Formel, mit der quadratische Gleichungen gelösten werden können. Im Video schauen wir uns die Formel an, aber nicht, wie sie hergeleitet werden. Es werden außerdem mehrere Beispiele durchgerechnet, in denen die pq-Formel angewendet wird. Wir stellen fest, dass manche quadratischen Gleichungen zwei Lösungen haben und dass es auch quadratische Gleichungen gibt, die nur eine Lösung oder auch gar keine Lösung haben.

Zum Video bei sofatutor.com: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/pq-formel-fuer-quadratische-gleichungen-2?launchpad=video

Sinus – Definition

Der Sinus eines Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist der Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse. Im Video schauen wir uns diese Definition an und sehen an einem Dreieck, was das genau bedeutet. Ein paar durchgerechnete Beispiele zeigen dann, wie wir den Sinus anwenden können. Am Ende des Videos verlassen wir dann die Schulmathematik und sehen uns an, wie der Taschenrechner Werte der Sinusfunktion ausrechnet, ohne Dreiecke aufzumalen.

Zum Video bei sofatutor.com: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/sinus-definition-2?launchpad=video

Kehrwertregel – anschauliche Erklärung

Die Kehrwertregel lautet: Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Eine solche Regel lässt man in der Mathematik nicht einfach so stehen, sondern sie wird begründet. Eine rein anschauliche Begründung wird in diesem Video vorgestellt.

Zum Video bei sofatutor.com: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/kehrwertregel-anschauliche-erklaerung?launchpad=video

Umgekehrt proportionale Funktionen – Einführung 1

Text: Umgekehrt proportionale Funktionen sind Funktionen, deren Funktionsgleichungen die Form y=k/x haben können. Im Video schauen wir uns die Funktion mit der Funktionsgleichung y=1/k an. Für positive x stellen wir fest, dass für größer werdende x-Werte die Funktionswerte immer kleiner werden. Das ist aber nicht komisch, sondern kann mit dem Verteilen einer Pizza auf mehrere Teller veranschaulicht werden – was wir im Video auch machen.

Zum Video bei sofatutor.com: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/umgekehrt-proportionale-funktionen-einfuehrung-1-2?launchpad=video

Umgekehrt proportionale Funktionen – Einführung 2

Umgekehrt proportionale Funktionen haben Eigenschaften, die Menschen manchmal ungewöhnlich finden. Z.B. gilt für die Funktion mit der Funktionsgleichung y=1/x: Sind die x-Werte positiv und kleiner als 1, sind die Funktionswerte größer als 1. Die Funktionswerte wachsen sogar über alle Grenzen, wenn sich die x-Werte der 0 annähern. Ein solches Verhalten können wir im Alltag erleben, wenn wir eine Pizza nicht auf mehrere Teller, sondern nur auf einen Teil eines Tellers verteilen. Im Video schauen wir uns an, wie das geht.

Zum Video bei sofatutor.com: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/umgekehrt-proportionale-funktionen-einfuehrung-2-2?topic=985

Kugeloberfläche – Kosmetik und Nanopartikel

Gegeben sei eine Kugel. Teilen wir das Volumen dieser Kugel auf mehrere kleinere Kugeln auf, stellen wir fest, dass die Summe der Oberflächen der kleineren Kugeln größer ist als die Oberfläche der großen Kugel. Je kleiner die Kugeln sind, desto größer ist die Summe der Oberflächen. Im Alltag kommen mitunter sehr kleine “Kugeln” vor. Z.B. werden C60-Fullerene in manche Kosmetika eingearbeitet. C60-Fullerene sind Moleküle, die so ähnlich aussehen wie kleine Fußbälle. Unter anderem weil diese Moleküle pro Volumeneinheit eine “sehr große” Oberfläche haben, sind sie chemisch sehr reaktionsfreudig. Das bedeutet auch, dass – falls sie unerwünschte Nebenwirkungen wie z.B. Toxizität haben – diese Nebenwirkungen sehr groß sein können. In diesem Video wollen wir der Oberflächenvergrößerung bei Kugelverkleinerung mal mathematisch nachgehen. Übrigens finden wir die angesprochene Problematik in viele Bereichen des Alltags wieder, z.B. bei Feinstaub, den wir einatmen.

Zum Video bei sofatutor.com: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/kugeloberflaeche-kosmetik-und-nanopartikel-3?launchpad=video