… werden hier gesucht.

Jeder Mensch lernt anders und jeder Mensch hat ein individuelles Verständnis der Mathematik. Deshalb braucht auch jeder Mensch eine individuell angepasste Erklärung eines mathematischen Zusammenhangs. So gibt es also für jeden eine Erklärung, die von allen die beste ist – eben die beste Erklärung der Welt.

Erklärungen als Anlass

Auf dieser Seite werden einige Erklärungen vorgestellt – vor allem solche, die eher nicht in Schulbüchern stehen und viel mehr in die Tiefe gehen, als es bei YouTubern und TikTokern üblich ist. Diese Erklärungen erlauben eine durchaus kritische Auseinandersetzung mit dem jeweils aktuellen Lehrstoff. Das mag einigen Menschen ungewöhnlich vorkommen, gilt die Mathematik doch gemeinhin als starres Regelwerk. Das ist sie aber gar nicht. Genügend „Beweismaterial“ steht auf dieser Seite. Die gezeigten Zusammenhänge sind weder die „richtigen“ Erklärungen noch sind sie vollständig. Sie sollen Anlass sein, in die Themen tiefer einzutauchen. Die intensive Beschäftigung mit Mathematik ist eine spannende Reise in die eigene, innere Welt der Strukturen, der Logik und der Abstraktion. Mögen die folgenden Anregungen den Weg dorthin weisen.

Einzigartige Erklärungen

Jeder Mensch hat mehr oder weniger das Bedürfnis, einzigartig zu sein und dafür geschätzt zu werden. In der Mathematik beginnt die Einzigartigkeit schon damit, dass jeder Mensch ein eigenes Verständnis mathematischer Objekte entwickelt. Ein Beispiel: Brüche sind Teile eines konkreten Ganzen. Sie sind auch zweidimensionale Zahlen, Ergebnisse von Divisionen, Resultate von Verteilungen, mathematische Operatoren, Punkte auf der Zahlengeraden, Verhältnisangaben und Anteile. Brüche können mit Bruchstreifen, Tortendiagrammen oder auch Unterteilungen einer Zeitspanne repräsentiert werden. Man kann Brüche mit unterschiedliche schweren Objekten fühlen, man kann sie als unterschiedliche Hellikgeiten sehen und als unterschiedliche Lautstärken hören. Alle Tonhöhen kommen außerdem durch verschiedene Unterteilungen einer Zeitspanne zustande und ein Klang ist ein Ton mit unterschiedliche gewichteten Obertönen, die wiederum als Brüche dargestellt werden können. Jeder Schüler, der das Thema „Brüche“ behandelt, wird aus diesen Verständnismöglichkeiten sein individuelles Bild von Brüchen gestalten. Das geht gar nicht anders. Das Wissen um diese Einzigartigkeit kann eine starke Motivation sein, mehr über Mathematik erfahren zu wollen.

Neue Mathematik

Zu manchen Erklärungen stehen auf dieser Seite weiterführende Fragen, die keine Standardlösung haben. Die Beschäftigung mit diesen Fragen kann schnell zu neuer Mathematik führen. Zwar denken viele Menschen, Schüler könnten in der Mathematik nichts neues entdecken, doch das Gegenteil ist der Fall: Sobald man die üblichen Aufgaben der Schulmathematik verlässt und die Fragen nur ein bisschen anders stellt, als es im Schulbuch steht, kommt man schnell auf mathematische Zusammenhänge, zu denen es bisher keine Veröffentlichungen gibt. Die Wahrscheinlichkeit, dabei neue Mathematik zu (er-)finden, dürfte ziemlich hoch sein und die Freude über den eigenen Beitrag zur „Geschichte der Mathematik“ ist ohnehin unbezahlbar.

Mitmachen

Wenn du eine Erklärung kennst, die du gut findest und die hier aber nicht vorkommt: Schicke sie mir und ich werde sie hier veröffentlichen (falls mathematisch alles in Ordnung ist).
Wenn du eine Erklärung suchst, die hier nicht vorkommt, kannst du mir gerne schreiben (martinwabnik@gmail.com). Wir werden jemanden finden, der es erklären kann.
Jedwede konstruktive Kritik ist selbstverständlich immer willkommen!

Standardmodell der Schulmathematik

Wir können uns Zahlen als Strecken auf der Zahlengerade vorstellen. Wir können sie aber auch vertikal aufstellen und so viele Zusammenhänge sehen, die man bei „liegenden“ Zahlen nicht sehen kann. Z. B. kann die Multiplikation von Brüchen oder das Potenzieren mit rationalen Exponenten an diesem Modell sehr gut verstanden werden.

YouTube Kanal von Martin Wabnik

Dieser YouTube Kanal bietet über 400 hochwertige Mathematik-Videos zu verschiedenen Themen der Schulmatheamtik. Dabei geht es um ein tiefes Verständnis der Mathematik (deep learning) und nicht um die Bereitstellung sinnentleerter Lösungsrezepte. Hinter jedem Video steckt ein didaktisches Konzept, welches entschieden sprachlich und visuell umgesetzt wird. Jeder Mensch, der Mathematik wirklich verstehen möchte, wird hier das finden, wonach er lange gesucht hat.

Rechnen

Brüche

Es gibt viele Möglichkeiten zu definieren, was Brüche sind. Um mit Brüchen arbeiten zu können, müssen wir uns einfach für eine Definition entscheiden und aus dieser dann alle Eigenschaften von Brüchen ableiten. Wir entscheiden uns hier dafür, Brüche als Teile einer Einheit auf dem Zahlenstrahl zu sehen. Im folgenden PDF werden auch die ersten Sprechweisen gezeigt.

Brüche können in vielen verschiedenen Zusammenhängen auftauchen. Im folgenden PDF sind einige davon dargestellt.

Brüche erweitern

Wenn wir die Teile eines Bruchs in weitere Teile unterteilen, entsteht in Bruch gleicher Größe. Diesen Vorgang nennen wir „erweitern“. Wie wir uns das vorstellen können, steht im folgenden PDF.

Brüche kürzen

Haben der Zähler und der Nenner eines Bruchs einen gemeinsamen Teiler, können wir den Zähler und den Nenner ohne Rest durch diesen Teiler teilen, dadurch entsteht ein Bruch gleicher Größe. Dieser Bruch besteht dann zwar aus weniger, dafür aber größeren Teilen. Im folgenden PDF schauen wir uns die Lage anhand der Bruchstreifen an.

Hauptnenner

Um zwei Brüche zu addieren, zu subtrahiern oder vergleichen zu können, erweitern wir sie so, dass sie gleiche Nenner haben. Das geht z. B. dadurch, dass wir einen Bruch mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs erweitern. Das kann aber zu unnötig großen Nennern führen. Deshalb erweitern die Brüche normalerweise nur auf den Hauptnenner. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache beider Nenner. Im folgenden PDF wird beschrieben und an Beispielen gezeigt, wie das gemacht wird.

Brüche vergleichen

Wir Menschen können auf Anhieb erkennen, welche von zwei gegebenen natürlichen Zahlen die größere ist. Für Brüche, die unterschiedliche Nenner haben, gilt das aber nicht unbedingt. Wenn wir aber Brüche auf gleiche Nenner erweitern, ist das kein Problem mehr.

Brüche addieren

Die Addition von Brüchen klingt zunächst ganz einfach: Brüche gleichnamig machen und dann die Zähler addieren. Tatsächlich stecken aber ein paar Schritte mehr dahinter: Brüche auf Kürzbarkeit prüfen und gegebenenfalls kürzen, den Hauptnenner bestimmen und beide Brüche auf den Hauptnenner erweitern, anschließend wieder prüfen, ob die Brüche kürzbar sind und gegebenenfalls kürzen. Im folgenden PDF werden alle diese Schritte mit den Bruchstreifen nachvollzogen – und zwar nicht nur an den einfachsten Brüchen, sondern auch an solchen, die einem gemeinen Schüler auf natürliche Weise begegnen können. Die Bruchstreifen dienen hier als Standardmodell. Wir argumentieren: Wenn die Addition von Brüchen mit den Bruchstreifen funktioniert, wollen wir davon ausgehen, dass diese Methode sinnvoll ist und auf alle Brüche angewandt werden kann.

Brüche subtrahieren

So ähnlich, wie wir Brüche addieren, können wir auch Brüche subtrahieren. Wenn wir uns diese Rechnung mit den Bruchstreifen vorstellen möchten, müssen wir aber beim Denken die Richtung wechseln und können die Bruchstreifen nicht einfach wie beim Addieren nebeneinander legen. Im folgenden PDF sind einige Beispiel ausführlich vorgerechnet.

Brüche multiplizieren

Wenn wir Brüche multiplizieren, rechnen wir Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Aber warum eigentlich? Im folgenden PDF wird gezeigt, wie wir das verstehen können. Außerdem wird an den Bruchstreifen gezeigt, warum wir „über Kreuz“ kürzen können und warum wir die Zähler sowie die Nenner vertauschen können, wenn wir Brüche multiplizieren.

Brüche dividieren

Brüche dividieren – Begründung der Kehrwertregel – Messen

Im PDF wird die Kehrwertregel am Beispiel des Teilens von 2/3 durch 4/5 begründet

Wir teilen durch einen Bruch, indem wir mit dem Kehrwert multiplizieren. Das besagt die Kehrwertregel.
Aber warum gilt die Kehrwertregel? Um das zu klären, fragen wir uns, was das Teilen von Zahlen eigentlich bedeutet. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten:

Oftmals wird das Teilen von Zahlen als „Messen“ verstanden. Wenn wir \(12\) durch \(3\) teilen, können wir uns fragen: Wie oft passt \(3\) auf \(12\)? Die Antwort ist \(4\), weil \(3\) viermal auf \(12\) passt. Wenn wir die Länge einer Strecke messen, gehen wir so ähnlich vor: Wir nehmen einen Maßstab, der z. B. \(1\) Meter lang ist, und fragen uns, wie oft dieser Maßstab auf eine bestimmte Strecke passt. Wenn der Maßstab genau viermal auf diese Strecke passt, ist die Strecke \(4\) Meter lang.

Wenn wir das Teilen von Brüchen als „Messen“ verstehen wollen, können wir uns die Brüche mit den Bruchstreifen vorstellen. Im PDF steht dazu eine kurze Erklärung der Kehrwertregel.

Kehrwertregel – anschauliche Erklärung – Messen

Kehrwertregel – anschauliche Begründung – Messen

Die Kehrwertregel lautet: Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Eine solche Regel lässt man in der Mathematik nicht einfach so stehen, sondern sie wird begründet. Eine rein anschauliche Begründung wird in diesem Video vorgestellt.

Didaktische Anmerkung: Im PDF wird die anschauliche Begründung mit Bruchstreifen gezeigt, an der die Gültigkeit der Kehrwertregel direkt abgelesen werden kann. Zudem wird der „schwierigste“ Fall gezeigt: beide Brüche haben unterschiedliche Zähler und Nenner, die Nenner sind nicht gleich 1 und der zweite Bruch ist größer als der erste. Es gibt zwar ähnliche, anschauliche Begründungen (gerade die Amerikaner sind in diesem Bereich sehr aktiv), aber hier ist die einzige Erklärung zu sehen, die den kompliziertesten Fall behandeln kann und die ohne Analogieschlüsse auskommt. Eine Ausführliche darstellung des Teilens von Brüchen mit den Bruchstreifen mit einer ebenso ausführlichen Begründung der Kehrwertregel findet sich zum Thema „Teilen von Brüchen“ auf dieser Seite. Hier wird nur eine sehr kurze Begründung gezeigt.

Brüche dividieren – Begründung der Kehrwertregel – Verteilen

Wir können das Teilen von Zahlen auch als „Verteilen“ verstehen. Wenn wir \(15\) Äpfel auf \(3\) Körbe verteilen, sind in jedem Korb \(5\) Äpfel. Deshalb ist \(15 : 3 = 5\).
Aber wie verteilt man z. B. \(\frac{4}{5}\) auf \( \frac{2}{3} \) ? Wie kann das überhaupt aussehen? Im PDF wird gezeigt, wie durch geschicktes Einteilen von Flächen die Begründung der Kehrwertregel direkt anschaulich abgelesen werden kann. In dieser kurzen Darstellung wird der „schwierigste“ Fall gezeigt: Weder Zähler noch Nenner passen zusammen, alle sind ungleich \(1\) und der Bruch, auf den verteilt wird, ist kleiner als \(1\).

Didaktische Anmerkung: Im PDF wird die einzige heute existierende anschauliche Begründung der Kehrwertregel gezeigt, die mit der Idee des Verteilens arbeitet. Auch bei dieser Begründung lässt sich die Gültigkeit der Kehrwertregel direkt ablesen. Es gibt zwar grundsätzliche Bebründungen wie z. B. das Verteilen einer Wassermenge auf Behälter mit unterschiedlich großen Grundflächen, wobei sich beim Umfüllen der Wasserstand entsprechend ändert, aber nur eine Begründung, an der man die Zahlen, mit denen multipliziert wird, direkt ablesen kann.

Assoziativ- und Kommutativgesetz

Assoziativ- und Kommutativgesetz

Die ersten beiden Formeln, die man normalerweise im Mathematikunterricht behandelt, sind diese:
1) \(a+b=b+a\) und
2) \(a+(b+c)=(a+b)+c\) Die erste Formel heißt „Kommutativgesetz der Addition“ und die zweite Formel heißt „Assoziativgesetz der Addition“. Mit diesen Formeln wird etwas beschrieben, was wir ohnehin schon aus unserem Alltag kennen: Egal, in welcher Reihenfolge wir etwas addieren, es kommt immer das gleiche Ergebnis heraus. Im Video sehen wir uns an, wie wir diese Formeln anwenden können.

Warum ist Minus mal Minus gleich Plus?

Die Festlegung, dass Minus mal Minus gleich Plus ist, also dass z. B. \( -2 \cdot (-3) = + \; 6 \) ist, ist Ausgangspunkt vieler mehr oder weniger ernsthafter Diskussionen über die Richtigkeit der Mathematik. Das ist verständlich, widerspricht dieses „Minus mal Minus“ doch dem Verständnis der Multiplikation, wie wir sie seit der Grundschule kennen. Damals haben wir gelernt: Die Multiplikation ist eine Abkürzung der Addition. Z. B. ist \(3 \cdot 4\) entweder \(3 + 3 + 3 + 3\) oder \(4 + 4 + 4\). In diesem Zusammenhang ergibt ein Ausdruck wie \( (-3) \cdot (-4) \) einfach keinen Sinn.

Das Problem liegt in der Tat sehr tief: Wir können nämlich nicht beweisen, dass „Minus mal Minus“ an sich und überhaupt gleich „Plus“ sein muss. Wir können aber an bestimmten mathematischen Modellen zeigen, wie solche Rechnungen sinnvoll sind und auch zu richtigen Ergebnissen führen. Im folgenden PDF geht es zum einen um die Zahlengerade als Standardmodell der Mathematik für das Rechnen mit Zahlen und zum anderen um zwei Modelle, die mehr mit dem Alltag zu tun haben: Es geht um das Hin- und Herlaufen und um das Essen von Schokoladenkeksen. Ja, auch für Schokoladenkekse ist „Minus mal Minus“ gleich „Plus“!

In diesem Video wird eine andere Erklärung gezeigt: Es geht darum, dass jede Zahl eine Gegenzahl haben soll. Die Gegenzahl einer negativen Zhl muss dann eine positive Zahl sein.

Termumformungen

An Termumformungen kann man sehr schön sehen, wie sich die Bedürfnisse Hochbegabter von denen anderer Schüler unterscheiden. Während die meisten Schüler so gut es geht das nachmachen, was an Termumformungen an der Tafel gestanden hat, stellen Hochbegabte Fragen, die für die meisten Mitschüler grotesk wirken. Manche dieser Fragen können mitunter sogar Mathelehrer nicht beantworten. Z. B.: Was ist ein Term? Was ist eine Termumformung? Wird bei einer Termumformung ein bestehender Term in einen anderen umgeformt oder wird zu einem bestehenden Term ein weiterer gefunden? Was ist eine richtige Termumformung und warum? Wie kann man den Grund für die Richtigkeit intuitiv verstehen? Wie kann man die Ergebnisgleichheit zweier Terme für alle Zahlen nachweisen, obwohl es unendlich viele Zahlen gibt? Warum macht man überhaupt Termumformungen?

Im nachfolgenden PDF werden zwar nicht alle Fragen vollständig beantwortet. Es werden aber ein paar Wege gezeigt, die man gehen könnte, um ein tiefes Verständnis von Termen zu erlangen.

Äquivalenzumformungen verstehen

Genauso wie Termumformungen kann man sich Äquivalenzumformungen an der Zahlengerade verständlich machen. Interessanterweise ist das viel komplizierter als Äquivalenzumformungen auszuführen. Dieses Phänomen können wir bei vielen mathematischen Zusammenhängen beobachten und es macht einen Teil der Stärke der Mathematik aus: Jeder Mensch kann Mathematik anwenden, indem er Zahlen in eine Formel einsetzt, ohne die Begründung der Formel verstehen zu müssen. Allerdings ist der Teil der Mathematik, in dem man sich um das Verständnis bemüht, der weitaus interessantere Teil.

pq-Formel für quadratische Gleichungen

pq-Formel für quadratische Gleichungen

Die pq-Formel ist eine wichtige Formel, mit der quadratische Gleichungen gelösten werden können. Im Video schauen wir uns die Formel an, aber nicht, wie sie hergeleitet werden. Es werden außerdem mehrere Beispiele durchgerechnet, in denen die pq-Formel angewendet wird. Wir stellen fest, dass manche quadratischen Gleichungen zwei Lösungen haben und dass es auch quadratische Gleichungen gibt, die nur eine Lösung oder auch gar keine Lösung haben. In diesem Video werden nicht nur die Rechnungen gezeigt, sondern es wird auch darauf eingegangen, wie man feststellen kann, ob auf eine gegebene Gleichung die pq-Formel überhaupt anwendbar ist. Es gilt: Die pq-Formel ist anwendbar, wenn durch die Ersetzung von p und q durch Zahlen in der Normalform einer quadratischen Gleichung die gegebene Gleichung ensteht. Da dieser Satz aber sehr umständlich klingt, wird im Video gar nicht weiter darauf eingegangen, sondern es wird einfach der Ersetzungsprozess anschaulich durchgeführt. So kann man auch sehen, welche Klammern für den Fall „mitgenommen“ werden müssen, wenn in der gegebenen Gleichung negative Zahlen vorkommen. Selbstverständlich ensprechen auch in diesem Video alle Formulierungen und Notationen dem in der Mathematik gängigen exakten Sprachgebrauch. Das können Menschen, die die bei YouTubern übliche Schludrigkeit gewohnt sind, als belastend empfinden. Alle, die wissen möchten, wie die Rechnungen „offiziell“ gesprochen und aufgeschrieben werden, werden hier fündig werden.

Exponentialfunktion mit Salzteig

Exponentialfunktion mit Salzteig

Exponentialfunktionen kommen im Alltag immer wieder vor. Wir sind quasi von diesen Funktionen umgeben. Um diese Tatsache mal sehr plastisch zu zeigen, wird in diesem Video eine Exponentialfunktion mit Salzteig vorgeknetet. Auch so können wir uns Exponentialfunktionen vorstellen. Und am Ende kommt noch ein Brüller: Wir sehen nämlich fast ganz von selbst, warum irgendetwas hoch 0 immer gleich 1 ist.

Warum ist \(2^0=1\) ?

So, wie die Multiplikation als Abkürzung der Addition eingeführt wird – z. B. ist \(2+2+2=3 \cdot 2\) -, wird das Potenzieren zunächst als Abkürzung der Multiplikation erklärt, wobei z. B. \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\) ist. Und solange die Basen und Exponenten positive natürliche Zahlen sind, ist das auch kein Problem. Aber schon bei \(2^1\) kann man in Grübeln kommen. Man hat festgelegt, dass \(2^1=2\) ist. Das passt immerhin zur Definition der Multiplikation, weil \(2=1 \cdot 2\) ist. Setzt man hingegen als Exponent \(0\) ein, muss man sich fragen, was \(2^0\) bedeuten soll. Nun, es ist \(2^0=1\), genauso, wie \(22^0=1\) und \( \left( \frac{1}{222} \right)^0 =1\) ist. Das kommt vielen Menschen sehr merkwürdig vor. Im folgenden PDF wird erklärt, warum das so festgelegt wurde und warum diese Festlegung sogar Sinn ergibt.

Differential- und Integralrechnung

Ableitung ohne Grenzwert

Ableitung ohne Grenzwert

Der Differentialquotient ist der zentrale Begriff der Differentialrechnung. In diesem Video sehen wir uns an, wie wir anschaulich verstehen können, was der Differentialquotient bedeutet. Geometrisch gesehen geht es darum, die Steigung einer Tangente zu bestimmen, die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt. Das Problem dabei ist, dass wir für die Steigungsbestimmung von Geraden – und eine Tangente ist ja eine Gerade – zwei Punkte brauchen, wobei die Tangente aber nur einen einzigen Punkt mit dem Funktionsgraphen gemeinsam hat. Normalerweise wird dieses Problem dadurch gelöst, dass die Tangentsteigung als Grenzwert der Sekantensteigungen definiert wird. In diesem Video gehen wir aber einen ganz anderen Weg: Wir sehen uns an, welche Steigungen die Sekanten haben, die sich in der Umgebung des Berührpunktes befinden. Wir stellen dann fest, dass es nur eine einzige Steigung gibt, die keine Sekantensteigung ist: Es ist die Tangentensteigung. Wir bestimmen also die Tangentensteigung, indem wir alle anderen Steigungen ausschließen. Dabei kommen wir sogar ohne den Grenzwertbegriff aus.

Potenzregel – Herleitung

Die Potenzregel braucht man für das Ableiten von Potenzfunktionen und damit auch für alle ganzrationalen Funktionen. Wie in der Mathematik üblich, wird die Regel erst bewiesen, bevor sie angewendet wird. Der Beweis für natürliche Exponenten kann über das Ausmultiplizieren eines Binoms erfolgen. Die Potenzregel gilt aber für alle reellen Exponenten (was im Schulstoff meist unterschlagen wird). Für den allgemeinen Beweis braucht man zwar die Kettenregel und die Ableitung der Logarithmusfunktion, man muss aber auch viel weniger schreiben.

Kettenregel – Herleitung und anschauliche Erklärung

Kettenregel – Herleitung und anschauliche Erklärung

Mit der Kettenregel leiten wir verkettete Funktionen ab. Im Video wird die Kettenregel vorgestellt, ein Beispiel wird vollständig vorgerechnet, die formale Begründung wird gezeigt und wir sehen uns auch an, wie wir die Kettenregel anschaulich verstehen können. Dabei ist zu begründen, warum das Produkt der Ableitungen von innerer und äußerer Funktion ausgerechnet gleich der Steigung der verketteten Funktion ist. Außerdem überlegen wir uns, warum die Ableitungen multipliziert und nicht etwa addiert werden.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Wenn man so will, behauptet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, dass (unter bestimmten Umständen) die Ableitung einer Flächeninhaltsfunktion exakt gleich den Funktionswerten der Funktion ist, deren Fläche zwischen Graph und x-Achse sie misst. Noch einfacher gesagt: Die Flächenbestimmung ist das Gegenteil der Steigungsbestimmung und umgekehrt. Das darf man ruhig verwunderlich finden! Der formale Beweis des Hauptsatzes ist zwar kurz, er gibt aber nichts intuitiv Verstehbares zu diesem Zusammenhang preis. Deshalb steht im PDF eine anschauliche Begründung für die Tatsache, dass (unter bestimmten Umständen) das Integrieren das Gegenteil des Ableitens ist.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Unter bestimmten Umständen kann man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (etwas verkürzt) so verstehen: Man kann mit einer Stammfunktion eine Fläche berechnen.* Nun hat aber eine Stammfunktion quasi als Gegenteil einer Ableitung erstmal nichts mit einer Fläche zu tun. Trotzdem funktioniert es. Wie wir diesen Zusammenahng anschaulich verstehen können, siehst du im Video.
*(Genauer gesagt: Man kann die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion f und der x-Achse auf dem Intervall [a; b] durch die Differenz der Funktionswerte F(b) und F(a) einer Stammfunktion F bestimmen.)

Uneigentliche Integrale

Mit den uneigentlichen Integralen bringt man das Kunststück fertig, eine unendlich breite Fläche vor sich zu haben, die aber nur einen endlichen Flächeninhalt hat. Das rebelliert normalerweise unser gesunder Menschenverstand. Umso überraschender ist, dass es eine extrem einfache Erklärung gibt, mit der wir dieses scheinbar widersprüchliche Phänomen verstehen können.

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Was ist Wahrscheinlichkeit?

Was ist Wahrscheinlichkeit?

In der Schule werden vor allem zwei unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsbegriffe gelehrt: Der Laplacesche Wahrscheinlichkeitsbegriff und der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff. Mit beiden gibt es erhebliche Verständnisprobleme – mal abgesehen davon, dass sie laut Zeitschrift „mathematik lehren“ auch zirkulär sind. Es gibt aber einen sehr einfachen Wahrscheinlichkeitsbegriff, der entsteht, wenn man die axiomatische Wahrscheinlichkeit auf Schulniveau herunterbricht: Wahrscheinlichkeiten sind Anteile. Zudem kann man sich die Diskussion, ob dies die „richtige“ Wahrscheinlichkeit sei oder nicht, sparen: Wir rechnen ohnehin mit Anteilen, egal, ob wir die Wahrscheinlichkeit beim Lose-Ziehen ausrechnen oder sie über die Integration einer Dichtefunktion bestimmen.

Regenwahrscheinlichkeit

Regenwahrscheinlichkeit

Im Wetterbericht kann man Sätze hören wie: „Die Regenwahrscheinlichkeit beträgt heute 80%.“ Das Problem dabei ist: Das Wetter ist kein Zufallsversuch und deshalb kann es auch keine Regenwahrscheinlichkeit geben. Deshalb gehen wir im Video der Frage nach, was eine solche Regenwahrscheinlichkeit bedeutet könnte. Es bedeutet nicht, dass auf 80% der Fläche des Vorhersagegebietes Regen fallen wird und es heißt auch nicht, dass es 80% der Zeit regnen wird. Sondern: Es bedeutet, dass es in der Vergangenheit an 80% der Tage mit vergleichbarer Wetterlage geregnet hat. Damit ist die „Wahrscheinlichkeit“ tatsächlich also eine relative Häufigkeit. Wie man im Netz nachlesen kann, soll aber auch diese relative Häufigkeit nicht immer an die Zuschauer weitergegeben werden. Im Video geht es nun nicht um die Diskussion, ob das tatsächlich so ist oder nicht, sondern um eine mögliche Ursache: Diese ist die Verlustaversion, die man tatsächlich auch mathematisch erfassen kann.

Regel von Bayes – Veranschaulichung

Regel vonBayes – Veranschaulichung

Die Regel von Bayes ist deshalb etwas „merkwürdig“, weil auf der linken Seite der Formel eine Information steht, die – bei oberflächlicher Betrachtung – auf der rechten Seite gar nicht vorkommt. In diesem Video wird mit einfachen, anschaulichen Mitteln gezeigt, wie man das verstehen kann.

Empirisches Gesetz der großen Zahlen

Angenommen, wir haben eine Box mit einer blauen und einer roten Kugel. Wir ziehen zufällig eine Kugel, notieren uns die Farbe und legen die Kugel wieder zurück. Dann ziehen wir wieder eine Kugel usw. Wenn wir diesen Vorgang \( 100\)-mal durchführen, kann es gut sein, dass wir ca. \(50 \) blaue und ca. \( 50 \) rote Kugeln ziehen. Diese „Tatsache“ ist die Kernaussage des empirischen Gesetzes der großen Zahlen. Aber warum ist das so? Natürlich nicht deshalb, weil es die „Gesetze des Zufalls“ so wollen – wie manchmal etwas hochtrabend behauptet wird. (Und selbst wenn das so wäre, wäre damit die Frage nach dem „Warum?“ immer noch nicht beantwortet.) Die kürzest mögliche Antwort ist: Weil es viel mehr Möglichkeiten mit ca. \( 50 \) blauen Kugeln gibt als es andere Möglichkeiten gibt.

Im folgenden PDF ist die Lage ausführlich dargestellt. Es wird genau erklärt, was „viel mehr Möglichkeiten“ bedeutet und auch gezeigt, wie man dieses empirische Gesetz der großen Zahlen mit dem Galton-Brett verstehen kann. Außerdem wird gezeigt, wie man auch ohne das Wissen der Kombinatorik die Anzahlen der Möglichkeiten mit Hilfe (erweiterter) Pascalscher Dreiecke für die ersten Versuchsanzahlen ausrechnen kann.

Die im PDF gezeigte einzigartige Methode der Erklärung des empirischen Gesetzes der großen Zahlen hat den enormen Vorteil, dass die Gesetzmäßigkeiten direkt nach den ersten wenigen Versuchsdurchführungen intuitiv erkannt werden können. Hier kann also auf den sonst üblichen (verwirrenden) Hinweis, das empirische Gesetz der großen Zahlen gelte nur für ganz ganz viele Versuchsdurchführungen, verzichtet werden.

Die relative Häufigkeit und ein folgenreicher Irrtum

Die relative Häufigkeit und ein folgendreicher Irrtum

Ein weitverbreiteter Irrtum ist, die relative Häufigkeit eines Ereignisses nähere sich mit zunehmender Versuchsanzahl der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses an. Zwar kann es gut sein, nach 100-maligem Münzwurf ungefähr 50-mal „Kopf“ zu erhalten (d.h. die relative Häufigkeit von „Kopf“ ist dann in der Nähe der Wahrscheinlichkeit von „Kopf“), es MUSS aber nicht so sein.
In diesem Video wird gezeigt, wie sehr das Verständnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung unter diesem Irrtum leidet, wie das vermieden werden kann und wie es wirklich ist. Und es wird gezeigt, wie einfach die dahinterliegende Mathematik tatsächlich ist.

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Das empirische Gesetz der großen Zahlen gibt es in der richtigen Mathematik nicht, weil dieses Gesetz vielleicht einer gewissen Erfahrung Audruck verleiht, aber keine beweisbare Aussage enthält . Das Gesetz aus der richtigen Mathematik, welches dem empirischen Gesetz der großen Zahlen vielleicht am nächsten kommt, ist das schwache Gesetz der großen Zahlen. Es hat inhaltlich mit dem Verhältnis von relativer Häufigkeit eines Ereignisses und der Wahrscheinlichkeit dieses Eriegnisses bei vielen Versuchsdurchführungen zu tun. Fälschlicherweise wird dieser Zusammenhang oft so beschrieben: Die relative Häufigkeit eines Ereignisses kommt der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses immer näher, je häufiger der Zufallsversuch durchgeführt wird. Aber das stimmt nicht, denn das würde z. B. für den mehrfachen Münzwurf bedeutet: Wenn wir nach \(50\) Münzwürfen genau \(25\)-mal Kopf und genau \(25\)-mal Zahl geworfen haben, könnten wir danach nicht \(5\)-mal hintereinander Kopf werfen, weil sich dadurch die relative Häufigkeit des Ereignisses Kopf von dem Wert \(50\) % entfernen würde. So müsste also eine dunkle Macht unsere Hand führen um zu viele Kopf-Würfe zu vermeiden.

Umgangssprachlich (und richtig) formuliert besagt das schwache Gesetz der großen Zahlen: Die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit eines Ereignisses in der Nähe der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses liegt, wird immer größer, je häufiger der Zufallsversuch durchgeführt wird (und sie konvergiert sogar gegen \(1\), falls der Zufallsversuch unbegrenzt oft durchgeführt wird). In der Fachsprache nennt sich dieses Phänomen kurz „Konvergenz in Wahrscheinlichkeit“. Auf den Münzwurf übertragen bedeutet das: Je häufiger wir die Münze werfen, desto größer wird die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit von Kopf in der Nähe der Wahrscheinlichkeit von Kopf – also in der Nähe von \(50\) % – liegt (und sie konvergiert sogar gegen \(1\), wenn der Münzwurf unbegrenzt oft durchgeführt wird).

Im folgenden PDF wird das schwache Gesetz der großen Zahlen möglichst einfach erklärt. Aber nicht einfacher! Es wird also mathematisch korrekt dargestellt, aber nur auf den möglichst einfachen Fall des Münzwurfs angewendet. Außerdem wird gezeigt, wie man sich dieses Gesetz anschaulich vorstellen kann und welche Fehlinterpretationen es gibt.

Starkes Gesetz der großen Zahlen

Wenn wir eine Münze immer wieder werfen und die Ergebnisse notieren, entsteht eine Ergebnisfolge wie z. B.

(Kopf, Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, Zahl, Zahl, Kopf, … )

Das schwache Gesetz der großen Zahlen sagt etwas über eine solche Folge aus, nämlich wie sich die Wahrscheinlichkeit, dass sich die relative Häufigkeit von z. B. Kopf in der Nähe von \(0,5\) befindet, entwickelt, wenn der Münzwurf unbegrenzt oft durchgeführt wird. Das starke Gesetz der großen Zahlen hingegen sagt etwas über alle möglichen (unendlichen) Ergebnisfolgen, nämlich dass für (in einem bestimmten mathematischen Sinn) fast alle dieser Folgen gilt: Die relative Häufigkeit für z. B. Kopf konvergiert tatsächlich gegen \(0,5\), wenn der Münzwurf unbegrenzt oft durchgeführt wird. Der Begriff „fast“ ist in diesem Fall ein Fachbegriff. Er wird maßtheoretisch definiert.

Im folgenden PDF wird das starke Gesetz der großen Zahlen erklärt. Es geht dabei nicht um irgendeine weichgespülte umgangssprachliche Version dieses Gesetzes, sondern um das richtige Gesetz – allerdings wird es nur für den einfachst möglichen Fall – den Münzwurf – erklärt. Alle formalen Notwendigkeiten wie z. B. die Mittelwerte zentrierter Zufallsvariablen, werden im Text erklärt. Alles, was nicht absolut unverzichtbar ist, wird weggelasen. Außerdem wird noch auf die üblichen Fehlinterpretationen eingegangen und diese richtiggestellt.

Stochastische Unabhängigkeit – Anschauliche Erklärung

Stochastische Unabhängigkeit

Die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse ist durch eine Formel definiert, die graphisch-optisch nicht viel hergibt. Um die Sache aber gefühlsmäßig-intuitiv zu verstehen, können wir auf die Anschauung zurückgreifen. Und da werden wir sehen, dass es bei der stochastischen Unabhängigkeit um die Beziehung zweier Mengen geht. Wenn diese Beziehung in gewisser Weise harmonisch ist, dann sind die Ereignisse stochastisch unabhängig. Genauer gesagt sind die Ereignisse A und B genau dann stochastisch unabhängig, wenn der Anteil von A an der Grundgesamtheit genauso groß ist wie der Anteil des Durchschnitts von A und B an B. Diese Sichtweise ist deshalb so wichtig, weil in Schulen immer wieder unterrichtet wird, für die stochastische Unabhängigkeit brauche man zwei Zufallsversuche. Das ist laut Formel aber nicht richtig, denn die Ereignisse A und B sind Teilmengen der Ergebnismenge ein und desselben Zufallsversuchs. Außerdem gibt es die Fehlvorstellung, die Eriegnisse A und B hätten nichts miteinander zu tun oder beeinflussten sich nicht gegenseitig, wenn sie stochastisch unabhängig seien. Aber grundsätzlich sind Ereignisse eines Zufallsversuchs Teilmeingen der Ergebnismenge, die einfach nur so da sind ohne sich aktiv irgendwie zu beeinflussen. Das können Ereignisse nämlich gar nicht.

Bedingte Wahrscheinlichkeit – einfache Erklärung

Bedingte Wahrscheinlichkeit

In diesem Video schauen wir uns zunächst die Formel an, mit der die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert wird. Die Formel ist aber recht dürr und deshalb sehen wir uns noch ein Schaubild an, mit dem wir die bedingte Wahrscheinlichkeit viel plastischer zeigen können. So gelangen wir auch zu einer Formulierung der bedingten Wahrscheinlichkeit in „normalen“ Worten. Z.B.: Seien A und B Ereignisse eines Zufallsversuchs. Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B – in Zeichen P(A|B) – ist der Anteil von A in B. Alternative Formulierung: Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingnung B – in Zeichen P(A|B) – ist der Anteil der Wahrscheinlichkeit von A an der Wahrscheinlichkeit von B. Zu dem „Bedingte Wahrscheinlichkeit“ gibt es viele Fehlvorstellungen, die sich leider hartnäckig halten. Es wird z. B. behauptet, man brauche zwei Zufallsversuche (oder zumindest zwei Handlungen innerhalb eines Zufallsversuchs), um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu erhalten; es dann die Wahrscheinlichkeit von A und der Bedingung B die Wahrscheinlichkeit an, mit der A eintritt, wenn B bereits eingetreten ist – oder, anders gesagt: wenn beim ersten Mal B eintritt und beim zweiten Mal A eintritt. Diese falsche Vorstellung macht es unmöglich, bestimmte Aufgaben zu bedingten Wahrscheinlichkeit lösen zu können. Z. B.: Ein einem Behälter befinden sich zwei schwarze und zwei weiße Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Die Frage ist: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Mal eine schwarze Kugel gezogen wird, unter der Bedingung, dass beim zweiten Mal eine weiße Kugel gezogen wird. Wenn man dabei die Vorstellung im Kopf hat, nur der erste Zug könne eine Bediungung für den zweiten Zug sein, wird man wohl davon ausgehen, die Aufgabe sei falsch gestellt. Schreibt man aber die Ergebnismenge mit allen möglichen ziehbaren Paaren auf und verfährt wie im Video gezeigt, löst sich diese Widerspruch (bestimmt) auf.

Sonstiges

Standardmodell der Schulmathematik

Wir können uns Zahlen als Strecken auf der Zahlengerade vorstellen. Wir können sie aber auch vertikal aufstellen und so viele Zusammenhänge sehen, die man bei „liegenden“ Zahlen nicht sehen kann. Z. B. kann die Multiplikation von Brüchen oder das Potenzieren mit rationalen Exponenten an diesem Modell sehr gut verstanden werden.

Ortsvektor – Definition

Ein Ortsvektor ist nicht etwa ein Vektor, der sich an einem bestimmten Ort befindet, sondern ein Ortsvektor ist ein Vektor, der durch einen Ort definiert wird. Orte sind Punkte im Koordinatensystem. Legt man einen Ort fest, so gibt es nur einen einzigen Pfeil, der vom Koordinatenursprung zu diesem Ort führt. Dieser Pfeil repräsentiert genau einen Vektor, nämlich den Ortsvektor, der durch diesen Ort definiert wird. Im Video schauen wir uns die ganze Sache noch graphisch-optisch an.
Dieses Video eigent sich besonder für Menschen, die Wert auf eine mathematisch exakte, gleichermaßen aber auch anschauliche Definition des Ortsvektors legen. Deshalb wird genau darauf eingegangen, wie man verstehen kann, dass obwohl der Ortsvektor durch einen Ort definiert wird und es nur einen einzigen Pfeil gibt, der vom Koordinatenursprung zu diesem Ort führt, dieser Vektor eben doch nicht ortsgebunden ist.
Wer den Marathon der Suche im Netz nach einer exakten und widerspruchsfreien Definition des Ortsvektors hinter sich, wird am Ende des Videos sehr erleichtert sein.

Kugeloberfläche – Kosmetik und Nanopartikel

Kugeloberfläche – Kosmetik und Nanopartikel

Gegeben sei eine Kugel. Teilen wir das Volumen dieser Kugel auf mehrere kleinere Kugeln auf, stellen wir fest, dass die Summe der Oberflächen der kleineren Kugeln größer ist als die Oberfläche der großen Kugel. Je kleiner die Kugeln sind, desto größer ist die Summe der Oberflächen. Im Alltag kommen mitunter sehr kleine “Kugeln” vor. Z.B. werden C60-Fullerene in manche Kosmetika eingearbeitet. C60-Fullerene sind Moleküle, die so ähnlich aussehen wie kleine Fußbälle. Unter anderem weil diese Moleküle pro Volumeneinheit eine “sehr große” Oberfläche haben, sind sie chemisch sehr reaktionsfreudig. Das bedeutet auch, dass – falls sie unerwünschte Nebenwirkungen wie z.B. Toxizität haben – diese Nebenwirkungen sehr groß sein können. In diesem Video wollen wir der Oberflächenvergrößerung bei Kugelverkleinerung mal mathematisch nachgehen. Übrigens finden wir die angesprochene Problematik in viele Bereichen des Alltags wieder, z.B. bei Feinstaub, den wir einatmen.

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

Die vollständige Induktion ist eine Beweismethode, mit der man (meistens) zeigt, dass eine Behauptung für jede natürliche Zahle gilt. Sie besteht aus zwei Schritten: 1) Man zeigt, das eine Behauptung für eine erste Zahl gilt – meistens die 1. 2) Man zeigt, dass wenn die Behauptung für eine bestimmte Zahl gilt, sie dann auch für die nachfolgende Zahl gilt. Daraus schließt man dann, dass die Behauptung für jede natürliche Zahle gilt. Im Video siehst du, wie du diese Methode anschaulich verstehen kannst, denn – wenn man so will – wenden wir diese Methode z.B. immer dann an, wenn wir irgendwo hinlaufen. Danach kannst du dann noch ein paar Beispiele sehen. Dabei werden Behauptungen mit der Methode der vollständigen Induktion bewiesen.

Hilfe! Mein Kind kann kein Mathe!

Hilfe! Mein Kind kann kein Mathe!

Auch wenn man den Eindruck hat, es ginge gar nichts mehr, gibt es die Möglichkeiten, mit der Situation gut oder schlecht umzugehen.
Leider sehe ich immer wieder, dass aus z.B. einer 5 in Mathe in viel größeres Problem gemacht wird, indem das Kind im Extremfall sogar für krank erklärt wird und anschließend von einer Dyskalkulietherapeutin behandelt werden muss.
Wertschätzender Umgang und eine optimistische Einstellung können die Sache aber auch das sein lassen, was sie ist: Eine Zahl unter einer Klassenarbeit.